| 单词 | 非局部变分力学 |
| 释义 | 【非局部变分力学】 拼译：nonlocal varitational mechanics 变分法是一个古老而又具有强大生命力的数学分支。它不但在理论方面仍在继续深入发展，而且在应用方面更是日益广泛流传，特别是从20世纪60年代，电子计算机逐渐普及，使得有限单元法迅速兴起并渗透到许多研究领域和实用部门。因此，作为有限单元法理论基础的变分法，在国内外越来越受到重视并取得日新月异的进展。中国学者在变分法这一学科领域内作出了重要贡献，得到国际学术界的公认。从1993年由19位国际知名学者创办出版新的国际性学术刊物《变分法和偏微分方程》就足以看出，变分法又有向深度和广度大发展的势头。 早在1696年，约翰·伯努利(John．Bernouli)就以分开信形式提出最早的一个变分命题，即最速降线问题。后经莱布尼兹(Leibniz)、牛顿(Newton)、雅可比·伯努利(Jacobi Bernouli)的努力才得到较为完满的解决。历史有名的第2个变分命题，是短程线问题，这个问题于1697年被约翰·伯努利所解决，但它的普遍理论却直到后来通过欧拉(Euler)和拉格朗日(Lagrange)的努力才得以建立。第3个变分命题是等周问题，它的变分特性是由欧拉察觉出来的。从历史上看，可以说是欧拉和拉格朗日在解决这些变分问题过程中创立了经典的变分法。1744年欧拉从泛函变分获得微分方程，后来人们称这类微分方程为欧拉方程。1755年拉格朗日用比欧拉法更简捷的方法获得同样结果，所以后来人们也称这类分方程为欧拉－拉格朗日方程。1918年奈特(Noether)概括了力学研究中存在的不变性、对称性的规律，并指出使用量不变的无穷小变换导致守恒定律，这就揭示了一系列对称间的转化关系。后来人们称之为奈特定理。接着希尔伯特(Hilbert)和爱因斯坦(Einstein)都从事过这方面的研究，从而把不变性变分理论提高到一个新水平。这在变分法的发展史上可说是一个新的里程碑。不变性变分理论不仅对数本身，而且对其他学科，特别是力学和物理学的发展有着极其深远的影响并起到非常有力的推动作用。自1969年以来，埃德伦(Edelen)出版专著并发表一系列学术论文对经典的(即局部的)变分法和不变性变分理论进行全面推广，从而建立起非局部变分力学的框架。他所创建的非局部变分力学与经典变分理论的根本区别是欧拉方程不再是微分方程，而是积分微分方程。埃德伦的非局部变分力学的框架包括下列主要内容：把经典变分法的各种概念推广到非局部情形；建立非局部变分法的驻值条件；非局部欧拉－拉格朗日算子的性质；导致线性算子的拉格朗日的函数，自共轭和反自共轭的定义，变分嵌入问题，边界条件和连续性要求；具有多个相关变量的非局部驻值化问题，欧拉－拉格朗日算子的零类；伴随定理和存在性问题；动量一能量复形(comples)，欧拉方程的不变性，积分问题；是有约束的驻值问题；无约束的非局部变分问题；多重相互作用问题，泛函的多重相互作用展开；扩展的泛函变分；各种能量形式和恒等式，弱的坐标不变性，弱的点不变性，守恒定律；强的坐标不变性和强的点不变性，绝对不变性；拉格朗日函数类，有约束的拉格朗日函数类的特征。从1972年，巴特卡(Bhatkar)对上述埃德伦的非局部变分力学框架作了重要补充，其中包括隐含非局部性的概念，具有隐含非局部性的驻值条件，具有约束的隐含非局部变分问题，构造非局部变分力学的拉格朗日函数的方法和拉格朗日乘子法等等。埃德伦本人曾在他的专著《非局部场论》中阐述了非局部连续的变分表述问题，但是不够具体。航天民曾于1981年应用非局部变分力学建立了隐含的和多重相互作用的非局部微极热弹性固体的本构理论。总的看来，在理论的应用方面成果不多，似乎还没有引起足够的重视。根据非局部变分力学的发展现状，今后应从理论和应用两方面开展研究工作：(1)在现有理论框架中还存在几个疑难问题，急需解决，而且这个框架还未能覆盖经典理论中的全部相应问题，因此需要进一步完善和补充非局部变分力学的理论框架；(2)在应用方面需要进一步寻求和开拓非局部变分力学的应用领域。(辽宁大学戴天民教授撰) |
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