【疲劳裂纹扩展逻辑框架】
早在1953年人们就对疲劳裂纹扩展进行了分析研究。刘浩文首先发现影响疲劳裂纹扩展率da／dN最重要的应力参量是应力变程Δσ，而不是最大应力σmax，Paris、Gomez和Anderson最早提出将da／dN与Kmax相关联。后来，刘浩文提出da／dN应与(Δσ2σ)成正比，这里的α是裂纹半长。对一“无限大”板而言，(Δσ2α)就是ΔK2。这是第一篇关于ΔK和da／dN关系的文献。不久，Paris和Erdogan发现了da／dN与ΔK4成正比的关系。几年来，ΔK与da／dN的相关系已广泛地用于工程实际，并用来评价材料微观结构对被劳裂纹扩展的影响。
1．无限大均匀宽板中裂纹的扩展一含裂纹的金属板在承受疲劳载荷后，裂尖循环塑性变形导致裂纹的扩展。这里讨论的问题是在一块非常宽、非常厚处于平面应变状态的金属板上有一要贯穿板厚的小裂纹，与板宽相比裂纹长度很短。结合疲劳裂纹扩展问题，我们来裂纹长度对裂尖区域中应力场及应变场的影响。一般而言，裂尖附近的应力、应变处于复杂的三维状态。在一非常厚板的内部，其裂尖应力、应变处于平面变状态，而在试件的表面层则处于平面应力状态。如果试件非常厚，则试件内部的平面应变层远厚于试件表而的平面应力层。因此，内层的站面尖变状态就主导了整个试件的疲劳裂纹扩展行为。在这种情况下，板的厚度可不予考虑，而半裂纹长度α就成了唯一的相关长度参量。因此，我们可以只用一个参量“α”来对实际的坐标x，y进行归一化处理。于是，在无量纲的相对坐标系X，Y中(X=x／α，Y=y／α)，所有具有不同裂纹长度的含裂纹板就可看成完全等同了。只要在这些板上施以相同的边界应力，通过简单的量纲分析就可以得知：在相对坐标系中，在几何相似点即同调点P(X，Y)处，其应力与应变是完全相同的。设在这些板中的裂纹增量Δα正比于它们各自的理解纹长度α，如果施加在这些板上的应力在循环增量ΔN期间遵循相同的脉动疲劳加载模式，则处于裂纹增量Δα范围内的材料必然经历完全相同的循环应力及循环应变。如果在裂尖的循环应力及循环应变控制了裂纹扩展过程，又如果材料是均匀的，那么，在不同的板上使各自的裂纹扩展增量Δα所需的循环增量ΔN就必然是相同的。据此，疲劳裂纹扩展率da／dN就与裂纹长度呈线性的正比关系：da／dN=C (1)
这里C1是一个与所施加应力相关的函数。上面的分析适用于小范围屈服、大范围屈服和整体屈服状态。由于分析中设想的材料是均匀的，故没有材料微观结构长度参量引入此分析。
以上对理解尖循环应力及循环应变的分析是基于裂纹长保持不变的前提下进行的，进一步的分析将推广到扩展的裂纹。设裂纹沿着扩展路径从几何相似点P(X1，Y1)扩展至P(X2，Y2)，我们来考察处于不同裂纹扩展阶段的应力及应变。试件经过N1次循环以后，在第1阶段其裂纹长度为α1；经过N2次循环以后，在第2阶段裂纹长度为α2．假设在P1，P2这两个几何相似点处最初的应力－应变关系是相同的，又假设两个裂纹各加上裂纹增量Δα，且Δα分别与两个裂纹的原始长度成正比。在裂纹扩展一增量以后，新的裂纹长度α′1α′2之间具有下述关系：
(2)
裂纹扩展Δα1及Δα2以后，P1及P2这两个同调点仍然保持其同调性。由此我们可以得出结论：甚至当裂纹按方程(1)扩展时，处于裂纹增量Δα范围内的材料经历相同的循环应力及应变，方程(1)仍然有效。
疲劳条纹是由裂尖的剪切分离(shear decohesion)所造成。当控制剪切分离机理的材料特性是均匀的时，方程(1)是有效的。但是，材料在本质上总是非均匀的，因而由各个条纹间距给出的局部裂纹扩展率变化很大，只有在一个较大范围内获得的平均条纹间距才可以视作为均匀材料的条纹间距。根据量纲分析，无限大宽板中裂尖塑性区尺寸rp与理解纹和成正比，因此，疲劳裂纹扩展率为da／dN=C2rp (3)
2．裂尖区域循环应力场及应变场的表征一含裂纹板的弹性应力场可以用一无穷级数来表示，只是在紧邻裂尖的局部区域其弹性应力及应变可近似地表示为：
r和θ是极坐标变量，裂尖为坐标原点，裂纹位于θ=π的线上，K是应力强度因子。苛σij(θ)和ε：j(θ)是极坐标θ及弹性模量的已知函数。方程(4)表明，在线弹性固体中，应力强度因子K是显然地表征裂尖整个应力场及应变场的单一参量。也就是说，在相同的K值条件下，不管试件几何形状及加载方式怎样，其裂尖的应力场及应变场是完全相同的。材料的非均匀性、晶体的各向异性及裂尖的塑性变形导致裂尖实际应力偏离由方程(4)给出的线弹性裂尖应力(LECTS)。要讨论的问题是：如果在裂尖处发生循环塑性变形，或者材料是非均匀的，或者多晶体固体的晶粒是各向异性的，则虽然还能表征裂尖的应力场及应变场?所有上述因素引起的应力扰动均处于自平衡状态，我们可以视应力扰动的影响为沿着应力扰动源围线周边分布的所有共线集中偶力(dipoles or concentrated forces)的总和。接下来的讨论是由Eshelby提出的，讨论的焦点着眼于那些扰动因素对用K表征裂尖应力场及应变场能力的影响，而不是在数学上寻求对这些扰动问题的解法。首先考察较简单的夹杂物的影响，然后再讨论疲劳加载下裂尖塑性变形的影响。
材料均匀性与裂纹扩展率的关系。已经证明，在小范围屈服条件下，rp内的循环应力及循环应变可以由ΔK，R，B来表征。如果疲劳裂纹扩展率仅由处于裂尖的循环应力及循环尖变所控制，则da／dN必然只是ΔK，R，及B的函数：da／dN=f1(ΔK，R，B) (5)
在平面应变条件下da／dN与B无关，故有
da／dN=f2(ΔK，R) (6)
方程(5)，(6)，源于一个简单的假设，即如果试件具有相同的循环应力及循环应变，从而导致有相同的变形及断裂过程，所以，对所有这些试件，其da／dN是完全相同的。但此解释并末拒绝考虑从一个ΔK水平到另一ΔK水平时，裂尖的变形及断裂过程可能发生的变化。因此，da／dN与ΔK不会遵循一个特定的关系式，对一给定材料，该关系式须由经验确定。
3．链开式模型如前所述，如果控制裂纹扩展机理的变形和断裂特性都是完全均匀的，da／dN就与ΔK2成正比。如果疲劳裂纹扩展仅由剪切分离所引起，那么可以建立一个力学模型以计算属于中间ΔK区域的裂纹扩展率。此间裂尖塑性区内包含了足够多的随机取向排列的小晶粒，因此可以视rp内的材料为完全均匀的和各向同性的。在一个各向同性的多晶体中，剪切滑移发生在最大剪应力面上，它被局限于最大剪应力面上的狭窄剪切带中，各相邻剪切带之间的材料其塑性变形则很小。在这里，将建立链开式模型以计算小范围屈服及平面应变状态下的疲劳裂纹扩展率。由Dugdale模型及经典连续介质模型计算所得的裂尖张开位移与施加的K有关。链开式模型剪切分离过程引起的裂尖张开位移远小于那些由经典模型所计算出的结果，但其变量间的函数关系应该有相同的形式。CTODu2=C(1－v2)K2／EσY (7)
这里CTODu2是链开过程引起的裂尖张开位移，它不包括由裂尖钝化所产生的裂尖张开位移；u，E及σy分别是泊松比、杨氏模量及拉伸屈服强度；C是比例常数，在经典的Dugdale带状屈服模型里C=1。
首先，对一含裂纹弹塑性固体不断加载至K=1．10MPa
，然后计算出裂尖区域的应力场及应变场，并描绘出裂尖小塑性区rp。选择一剪切带AB，该剪切带从裂尖向塑性区边缘扩展，与x轴成σ角。施以微小增量δK，在δK施加期间，使沿AB剪切带自由滑移，但不允许节点离开剪切带。在δK施加期间，在这些节点上的切向力保持不变，法向应力沿剪切带不断增大并保持连续，以保证垂直于剪切带的相对位移为零。这些沿着剪切带的边界条件通过反复叠代加以满足。当施加δK时，按给定的本构关系，所有单元均发生弹塑性变形。由此可以计算出由δK引起的剪切分离及δCTODu2增量。裂纹扩展率与CTODu2几何相关。对于疲劳裂纹扩展，计算获得的裂纹扩展率为da／dN=0．02(1－v2)ΔK2／Eσγ(c)=0．02ΔJ／σγ(c) (8)
方程(8)不存在任何调整系数，它显然给出了疲劳裂纹扩展率。
(美国Syracuse大学刘浩文撰)