| 单词 | 常微分方程稳定性理论 |
| 释义 | 【常微分方程稳定性理论】 拼译：stability theory of ordinary differential equations 通常称为运动稳定性理论。简称稳定性理论。是常微分方程理论的一个重要分支。主要研究干扰对由常微分方程所描述的系统运动运动状态的影响。从而建立判断运动的稳定性态的一些准则。由于力学系统和工程技术问题中都要考虑其运动稳定性。因此，稳定性的研究也是一般力学和应用数学的基本问题。 稳定性理论由19世纪末俄国李雅普诺夫(А．М．Ляпунов)开创。李雅普诺夫在《运动稳定性的一般问题》(1892)中给出了常微分方程dx／dt=f(t，x)解的稳定性、渐近稳定性及不稳定性的定义。通常称之为李雅普诺夫意义下的稳定性。同时提出了研究其稳定性的两种方法。在第1种方法中，提出变系数线性微分方程组的特征数、正规解族和正则系统等概念，并建立了相应的特征数理论。证明了当一次近似是正则系统且其所有特征数为正时方程零解是渐近稳定的。第2种方法的特点是不求出方程的解，而通过构造一类具有特殊性质的函数V(t，x)来判断微分方程解的稳定性态。因此又称为李雅普诺夫直接方法。这类函数V(t，x)称为李雅诺夫函数，简称V函数。李雅普诺夫应用V函数方法研究了方程右端一次近似为常系数的非线性系统零解的稳定性，包括特征方程中具有一个零根或两个零根或一对共轭虚根而其余特征根均具负实部这3类临界情形的稳定性。对周期系统也作了类似分析。20世纪50～60年代，在美国贝尔曼(R．Bellman)、莱夫谢茨(S．Lefschetz)及拉萨尔(J．P．LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。叶鲁金(Н．Ц．Epyгии)等研究第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。50年代马尔金(И．Г．Maякин)提出特征数的稳定性问题，贝洛夫(Б．Ф．БыΛoв)等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的重合等问题。对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫(H．Г．Чeтaeв)等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性。通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如dv／dt定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。60年代贝尔曼和马特洛索夫(B．М．Marpосов)通过向量V函数将微分方程稳定性的研究转化为以V函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑全相空间的情形。50年代初巴尔巴辛(E．A．Бaрбaшин)和克拉索夫斯基(H．H．Kpacовcкий)引进了无限大函数的概念把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。70年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。40年代末，控制理论的发展提出了一类自动调节系统(称为Лypбe系统)的绝对稳定性问题。50～60年代对这类问题作了细致的研究，为此而发展了V函数方法和波波夫(Popov)频率法则，并研究了其相互联系。反映了古典控制论的频率方法和现代控制论的状态空间方法的结合。70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了50～60年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方法等继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。60年代初，秦元勋、王慕秋、王联即已提出将大系统的稳定性问题分解为子系统的稳定性。刘永清亦曾应用V函数的分解来处理大系统的稳定性。后来贝利(F．N．Bayley)应用向量李雅普诺夫函数研究大系统。70年代以来，大系统的稳定性研究得到了迅速发展。在电力系统暂态稳定性研究中得到实际应用。生态种群模型是一种仅当变量为非负时才有意义的特殊类型微分方程，可以通过引入特殊形式的V函数来研究其生态系统的稳定性。化学、生物、物理等学科的发展也提出了众多的各类系统的稳定性问题。技术研究要求研究的干扰范围和时间间隔，一些实际系统可能是不可微或不连续的，对其扰动影响的研究提出了有限时间区间稳定性、经常扰动作用下稳定性、区间稳定性及不连续系统稳定性等各种技术稳定性问题。李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、振动性等。吉泽太郎(T．Yoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性。同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。对动力系统、泛函微分方程、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相应的稳定性理论。李雅普诺夫特征数在浑沌(Chaos)和分形(Fractals)研究中也起着重要作用。50年代，儒波夫(В．И．3yδов)已将常微分方程稳定性的结果转移到距离空间的流上。后来，逐渐形成了以李雅普诺夫函数为主要工具的动力系统稳定性理论。60年代主要研究动力系统的紧不变集和闭不变集的稳定性。70年代以来，非紧集、“过程”及一般系统的稳定性理论得到迅速发展。李雅普诺夫函数还应用于流形上动力系统的孤立块理论研究。泛函微分方程从理论建立的开始便同时研究其稳定性问题。40～50年代主要研究差分微分方程稳定性。60年代全面开展有滞后型泛函数微分方程稳定性的研究。70～80年代则主要研究无限时滞系统和中立型泛函微分方程稳定性。其主要工具是李雅普诺夫泛函和拉什密辛(Б．C．Pазумихин)型V函数。运动稳定性的含义一般不局限于常微分方程所描述的系统，也不受囿于李雅普诺夫稳定性理论。科学技术特别是航天技术的发展促进了力学系统稳定性的研究。提出并发展了有关哈密顿系统稳定性、卫星姿态稳定性、充液腔体旋转运动稳定性、陀螺力学系统稳定性、粒子和质点运动稳定性、碰撞运动稳定性以及流体稳定性等一系列力学系统稳定性问题。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。【参考文献】：1 LaSalle J P. Soc for Industrial and Appl Math, 19762 秦元勋，王慕秋，王联．运动稳定性理论与应用．北京：科学出版社，19813 Lakshmikantham V, et al. Stability analysis of nonlinear systems. New York: Marcel Dekker,1989(中山大学朱思铭教授撰) |
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