| 单词 | 边界元方法 |
| 释义 | 【边界元方法】 拼译：boundary element method BEM 又称边界积分方程法(BIEM)。是在经典的积分方程方法的基础上吸收有限元离散技术而发展起来的求解偏微分方程的数值方法。它的基本思想是尽可能地把原问题的求解转化为数值求解边界积分方程，把原问题的解用边界积分的形式来表示。它的主要优点是由于把区域上的边值问题转化为边界上的积分方程，空间维数降低一维，一般只要求出定义在边界节点上的某些确定的值就可用于计算区域内任意点上所需物理量的值，因而可节省数据准备工作量和计算量。该方法特别适用于求解无限区域上的问题。另一个显著的优点是由于离散误差仅来自于边界，故计算精度高，在区域内部还有高阶超收敛性，特别适用于那些变化率剧烈的问题，如应力集中等问题。该方法在工程和科学计算上得到广泛应用的另一个因素是它的通用性强，不受区域形状的限制，易于编制计算程序、制作有效的工程计算软件。 通过边界积分方程来求解边值问题的思想可追朔到19世纪中期，例如Helmholtz、Rayleigh。早期的应用主要在于位势理论和流体力学方面，例如Kellogg、Lamb。20世纪50年代原苏联学者采用位势积分方程来研究数学物理方程的解和解的适定性作了很多理论工作，如Mихлин、Kyпpaдэe、СMиpнов。把位势积分用于数值计算始于60年代，如Jaswon、Symm和Hess。从工程应用的观点把直接边界积分方程用于求解弹性静力学的工作则始于Cruse和Rizzo(1968)。在其后的10年中，随着电子计算机的广泛使用，也由于有限元法研究的深入和对工程计算的巨大影响，数值求解边界积分方程的比较切实可行的离散化技术逐渐形成，边界积分方程法与其它数值计算方法的关系也逐渐明了。从着眼于求边界积分方程数值解的离散技术和对边界离散的方式而言，边界积分方程法逐渐被边界元法的称呼代替。1978年第1届工程中的边界元法国际会议在英国南安普敦大学召开，第1本边界元法专著问世，标志边界元法的兴起。边界元法直接用边界物理量(位势和流通量、位移和面力等)作为求解变量来建立边界积分方程(通过广义格林公式或加权余量法等)，称为直接法。从虚拟的密度函数或虚设在边界的虚荷载作为求解变量来形成边界积分方程(位势积分)，称为间接法。通常用配置法或配点法(Collocation)来离散边界积分方程。配置法是一种以满足纯插值约束条件的方式寻求算子方程近似解的方法。用于边界元法时，首先要把边界剖分成单元，在每个单元上根据插值约束条件确定一定数目的节点，形成节点上的恒等方程，再把在整个边界上的积分离散为在每个单元上的积分，从而得到以节点处的物理量或密度函数为未知量的线性代数方程组。解线性代数方程组得到全部边界节点值，将其代入解的积分表达式的离散公式中，就可计算区域内任意点处解的近似值。最常用的插值是拉格朗日插值。最简单的边界单元在二维情况下是直线段单元，在三维情况下是平面三角形或四边形单元，且假定在每个单元上边界量是常量。采用样条插值的边界元又称为样条边界元。边界元法的计算量主要用在形成线性代数方程组系数矩阵。由于系数矩阵的非稀疏性和非对称性，矩阵元素的求值有大量积分计算，特别是采用高阶协调边界元时所涉及的积分计算尤其是奇异积分计算，其计算量是较大的。边界元法用于求解线性问题时，可以完全归结为边界的离散化，但用于求解非线性或动力问题时，除边界积分外，还有区域上的积分。如果不能完全将域上的积分进一步转换为边界积分，就只好同时使用边界单元和内部单元。一般有两种方式来处理这类带区域积分的问题。一种是对边界未知量和区域内部未知量用迭代的方式轮流求解，另一种是采用把域内未知量与边界未知量联合求解的方式。这时边界元法仅在边界上计算的优势将会失去。所以在涉及解变系数或非线性问题时，往往使用边界元和有限元的耦合法(Coupling)。边界元法用于求解与时间相关的问题也有几种处理方式：利用带时间变量的基本解得到带时间积分的边界积分方程；或者对时间变量作拉普拉斯变换以转换成椭圆型方程后在象空间中用边界元求解，最后通过数值逆变换得到原问题的解；也可以先用差分代替对时间的微分，在时间步长内对椭圆型方程求解。边界元法作为一种工程计算方法，其应用范围非常宽广，其研究内容已深入到各种学科领域的数值计算。如固体力学中的弹性、塑性、粘弹性、粘塑性问题，板壳问题，断裂问题，动力学问题，热应力、蠕变、接触问题。岩土力学中地基结构与岩土相互作用问题。此外还有非弹性问题，形状优化问题，位势流、粘性流、水波分析等流体动力学问题，波的传播和散射，震动等问题。现已有许多与各种专门问题相联系的边界元法专著出版。如声学中的边界元法(Ciskowski，1991)，热传导中的边界元法(Wrobel et al，1991)断裂力学中的边界元法(Aliabadi et al，1991)、非齐次重调和现象的边界元分析(Camp et al，1991)、机电工程中的边界单元(Brebbia et al，1990)、弹性动力的边界单元法(Manolis，1987)等。边界元法作为一种数值计算方法，本身的内容还处在不断的充实和发展中。对它的研究还包括边界元的数学理论，各种类型的基本解，各种形式的边界单元(边界离散方式和插值形式)，改进奇异积分的计算，各种提高精度的算法，边界元与其它数值方法的耦合方法以及边界元工程计算软件等。目前英国的软件系统BEASY(Boundary Element Analysis System)有较大的影响。从1980年起，每年至少召开一次边界元法国际会议。丰富的研究成果较集中的反映在由Brebbia主编的各届会议文集中以及由他主编的边界元法进展专集中。另外还有由Banerjee主编的边界元法发展专集。近年中国已举办过4次工程中的边界元法学术会议。由杜庆华主编的论文集反映了中国在边界元法研究上达到的新水平。【参考文献】：1 Brebbia C A. The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press,19782 Banerjee P K. Development in Boundary Element Methods - 1, Applied Science Publishers LTD,19793 Brebbia C A, et al. Boundary Element Techniques-Theory and Applications in Engineering ,Berlin: Springer-Verlag, 19844 Mackerle J, et al. The Boundary Element Reference Book, Comutational Mechanics Pubications,Southampton, 19875 杜庆华等．边界积分方程方法－边界元法．北京：高等教育出版社，19896 Grilli S，et al．Computational Engineering with Boundary Elements，Computational Mechanics Publications Southampton，19907 陈正宗，洪宏基．边界元素法．台北：新世界出版社，1990．8 Brebbia C A, et al. Boundary Elements Ⅺ V , Computational Mechanics Pubications,19929 Brebbia C A, Ingber M S. Boundary Element Technology, Ⅶ compatational Mechanics publications, 1992(重庆建筑大学祝家麟教授撰) |
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