【弱P叶函数】
拼译：weakly p-valent functions
在单位圆盘⊿=｛z‖z｜＜1｝内解析的函数f(z)，且满足：若对于每一R＞0，或者f(z)在Δ内取｜w｜=R的每一w值恰好p次；或者在｜w｜=R上的－w，f(z)在Δ内取此w值少于p次，其中p为正整数。这是英国海曼(W．K．Hayman)于1951年提出的。由定义可见，弱p叶函数包含了p叶函数与圆周平均p叶函数。
对弱p叶函数几何理论的探讨是世界单复变函数论研究的主要课题之一。长期以来，国内外函数论专家们对弱p叶函数进行了一系列研究，取得了一系列好的成果。以记号W(p)表示这类函数，并设函数f(z)在Δ内有展式：f(z)=a0+a1z+…+anzn+… (1)
1951年海曼研究了W(p)的函数与导数的模。对于不取零值的函数(1)有
f(z)=zp+ap+1zp+1+… (z∈Δ) (2)有
上述估计是准确的。且(2)式的f(z)在Δ内取｜w｜＜4－p的每一w值恰好p次。
1974年伯恩斯坦(A．Barenstein)对于W(p)中的函数(2)，推得如下凸积分平均值不等式：
其中0＜r＜1，Φ(x)是(－∞，+∞)内的一个凸、非减函数，K(z)=z／(1－z)2。
1979年何泳贤对于W(p)中不取零值的函数f(z)，推得如下凸积分平均值不等式：
0＜r＜1，Φ(x)是(－∞，+∞)内的一个凸、非减函数，F(z)=((1+z)／(1－z))2p。
1974年海曼与威特斯曼(A．Weitsman)对于W(p)中的函数f(z)，推得如下积分平均值不等式：
由此得(1)的系数不等式：
这里
，A(p，q，…)是仅依赖于p，q，…的一个常数。
的θ。证得W(p)中在Δ内有q(0≤q≤p)个零点的函数(1)，对于每一θ∈［0，2π］，极限α(θ)必存在，且集合E=｛θ｜α(θ)＞0｝是一可数集；推得∑α(θ)的界有如下结果：
其中
，A(q)是仅依赖于q的一个常数。
，除非f(z)=zp(1－zeiλ)－2p，λ为实数。对于W(p)中不取零的函数(1)，推得
而且
，除非f(z)=a0((1+zeiλ)／(1－zeiλ))2p，λ为实数。
而且，若α(θ)＞0的θ不止一个，则有
及
不存在。
有如下关系：
其中r0为f(z)在Δ内的零点的模之最大值。
对于在Δ内具有相同零点且一致收敛于不为常数的函数f(z)的函数列｛fn(z)｝，fn(z)∈W1(p)，n=1，2，…，以1fn，1f分别表示fn(z)与f(z)的p次覆盖半径，证得
．还证得W1(p)中有界函数f(z)的p次覆盖半径1f与其边界值f*(eit)=limf(reit)有如下关系：
其中b1，b2，…bp为f(z)在Δ内的零点，
第3个关系式是否能反过来仍未解决。
最近几年，中外函数论专家们较多地研究弱p叶函数的各种特殊子类。1989年杨定恭证得p叶函数(2)的子类Sn，p(A，B)有关系；
这子类是由满足
(z∈Δ，－1≤A＜B≤1)的f(z)组成，其中Dn+p－1f(z)=［zp／(1－z)n+p］*f(z)，n＞－p。他还推得p叶函数子类
的一类积分算子仍属于
，即
其中α＞0，C满足
是由在Δ内有展式
且满足
的p叶函数f(z)所组成。
f(z)=1／zp+a0／zp－1+a1／zp－2+… (3)
在D=｛z｜0＜｜z｜＜1｝内解析的p叶函数f(z)组成。推得∑(p)的子类Pn+p－1满足：
，Pn+p－1是由∑(p)中满足
的f(z)所组成，其中Dn+p－1f(z)=［1／zp(1－z)n+p］*f(z)(n＞－p)
1989年Nunokawa、Mamoru与Owa、Shigeyoshi证得W(p)中函数(2)是p叶星形的充要条件是：｜argf(p)(z)｜＜(1／2)πα1(z∈Δ)，其中α1=1／2+(2／π)arctg(1／2)=0．795。1990年他们又证得W(p1)中函数(2)是p叶星形的另一充分条件是：1+Re(zf″(z)／f′(z))＜p+(1／2) (z∈Δ)且沿射线argz=α与arg z=π+α(α∈［0，π))有裂缝的单位园盘内有Im(f′(z)／zp－1)·Im(eiαz)≠0。他们还证得W(p)中函数(2)是p叶近于凸函数的充分条件是：
其中1+p≤K及(p+k－1)／2＜β≤(p+k+1)／2。
1990年Owa证明了Nunokawa猜想：若f(z)是在Δ内具有展式(2)的解析函数，且
则f(z)是p叶星形函数
1991年Nunokawa证得在Δ内具有展式(2)的解析函数f(z)是p叶星形的充分条件是：｜1+zf″(z)／f′(z)｜＜p－1｜zf′(z)／f(z)｜log4ep－1，(z∈Δ)
另一充分条件是：｜1+zfp+1(z)／f(p)(z)1＜｜zf(p)z／f(p－1)(z)｜log4，((z∈Δ)
当前，国内外对弱p叶函数的研究正方兴未艾，随着1985年比巴霸赫(Bieberbach)猜想的解决，有关单叶函数几何理论上许多问题也随之解决，因而函数几何理论研究的热点自然转向弱p叶函数(p≥2)方面。从国内外最新研究成果和进展的信息来看，20世纪90年代对弱p叶函数研究的热点是：(1)弱p叶函数的性质，各种特殊函数子类的特点、关系和充要条件。(2)系数估计、偏差定理、闭包及凸性半径等等。(3)亚纯弱p叶函数的特点及其各子类的性质与充要条件。【参考文献】：1 Hayman W K．J Analyse Math，1951，1∶155～1792 Hayman W K，Weitsman A．Math Proc Cambridge Philos．Soc，1975，7∶119～1373 Higginson C G．Proc London Math Soc，1977，35(2)∶291～3124 何泳贤．华中师院学报(自然科学版)，1983，17(1)∶1～65 何泳贤．华中师院学报(自然科学版)，1985，19(2)∶29～326 何泳贤．数学杂志，1986，6(3)∶269～2767 罗东汉．四川大学学报，1989，26(1)∶21～268 Uralegaddi B A，Patil H S．Math Chronicle，1989，18∶75～779 Aouf M K．Tamkang J Math，1989，20(2)∶135～146(广州金融高等专科学校何泳贤教授撰；高仕安教授审)