【渐近鞅理论】
拼译：theory of asymptotic martingales
自20世纪50年代经典鞅论完成后，近代鞅论迅猛发展的同时，人们考虑能否减弱鞅定义中的条件而仍能保持鞅的部分性质，其主要特点是鞅条件在各种不同的极限意义下成立，这就是自60年代开始发展起来的渐近鞅理论。设
是实值适应可积序列，
和T分别表示(
)停时和有界停时全体，记T(σ)=｛τ∈T：τ≥σ｝，
。
；②称Z是拟鞅(Quasimartingale)，若
；③称Z是渐近鞅(Amart)，若
存在且有限；④称Z是依概渐近鞅(Pramart)，若
，n≥1)使有
且在An上有
；⑾称Z是终鞅(EM)，若
；⑿称Z是拟终鞅(QEM)，若
；⒀称Z是L1－极限鞅(1)(L1－Mil(1))，若
；⒁称Z是L1－极限鞅(2)(L1－Mil(2))，若
．上述序列也称为鞅型序列，它们之间有下述关系：
若把上述序列定义中的绝对值｜·｜改为［·］+(－)，就得到相应的上(下)鞅型序列。例如称Z是极限下鞅(3)，若
，
，对给定的σ域流(
，n≥1)，设
表示具有某一特性的实值(
，n≥1)适应的可积序列全体，称
具有：(A)可选停止性，若对每一个
，有
，
(B)可选采样性，若对每一个
，对任取的上升停时列
，均有
。(C)Riesz分解性，若对每一个(xn，Fn，n≥1)∈1，有分解xn=Mn+zn，n≥1其中(Mn，
，n≥1)是鞅，而EznIA→0，n→∞，
；
，
有
；(E)a．s．收敛性，若对每一个
，
∞，
存在；(F)变换性，若对每一个
，(un，
，n≥1)可料序列(i)若(un，n≥1)一致有界，则
，其中
，在集合
上
存在(G)差方可加性，若对每一个
，
，有
表1
说明：(1)表中√表示有此性质，×表示无此性质，×*表示在条件
下有此性质。
｜＜∞下有变换性(ii)。关于鞅型序列及其有关性质的一系列结果，常称为渐近鞅理论，几乎与此同时，向量值渐近鞅理论也被建立。设(
，‖·‖)是一Banach空间，
是
值Bochner可积适应序列，若把实值鞅型序列定义中的绝对值｜·｜换成‖·‖，即可得到相应的向量值鞅型序列的定义。例如称Z是一致渐近鞅，若
。当
时，渐近鞅与一致渐近鞅是等价的，但在一般Banach空间中，只有一致渐近鞅
渐近鞅成立。向量值鞅与鞅型序列的鞅性质常与值空间
的几何性质有关。例如，1985年M．Talagrand证明了下述命题——设
是一Banach空间，则下述等价：(1)
有RNP，(2)满足条件
的任一
值Mil(3)必a．s．按范数拓扑收敛。现在，实值与向量值渐近鞅理论已趋于成熟，随着随机集理论的兴起，集值鞅与渐近鞅理论正处于发展阶段。【参考文献】：1 Edgar G A, et al. J, Multivariate Anal,1976,6:193～221, 572～5912 Millet A, et al. Can J Math, 1980,32:86～1253 Gut A, et al. L.N. M, 1983,10424 Egghe L. Stopping time techniques for analysts and proba-bilists. Cambridge University Press, 19845 TomkinsRJ. Can J Statist,1984,12:99～1066 Talagrand M. Ann of Probability , 1985,13:1192 ～1203(华东师范大学汪振鹏教授撰)